Метод конечных разностей или метод сеток

1)   х=0    (левая граница области G)

      Заменим условия

                                 U    = 0

                                   x=o

                                 Uxxx  = 0

                                          x=o

на соответствующие им разностные условия

 Uoj=0

U-1j=U2j - 3U1j                                         (1`)

2)  х=а      (правая граница области G)

     i=N

             Ux   = 0

                   x=a

             Uxxx  = 0

                       x=a                    из того что   Ui+1j - Ui-1j  = 0

                                                                           2hx

                                      UN+1j = UN-1j

UNj = 4 UN-1j - UN-2j                               (2`)

                                                           3

3)  у=0 (нижняя граница области G)

     j=0

Ui ,-1 = Ui1

Ui0 = 0                                                  (3`)

это есть разностный аналог Uy   = 0

                                                      y=o

                                                U   =0

                                                    y=o

4)   у=b

      i=M

            U  = 0

               y=b               т.е. UiM=0                                                (**)

Распишем через разностные производные  Uxx + Uyy =0 и учитывая что j=M и (**) получим

UiM-1 = UiM+1

Итак краевые условия на у=b имеют вид

 UiM+1 = UiM-1

UiM = 0                                                 (4`)

Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения (*) заданного на сетке W и краевых условий (1`)-(4`) заданных на границе области G (или на границе сетки W)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей  разностной задачи (*),(1`) - (4`).

В данном случае неизвестными являются

Uij = U(xi,yj)

где  xi = ihx

       yj = jhy

при чём  hx = a/N  ,

                hy = b/M

это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N  и М соответственно количество точек  разбиения отрезков [0 , а] и [0 , b]

Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение

2

DU = f

как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сетки W , начиная с нижней строки.

1 Ui-2j -  4  +  4   Ui-1j  +  6  -  8 + 6   Uij  -  4  +   4   Ui+1j + 1 Ui+2j +  2Ui-1j-1 -

  4           4         2  2               4        2   2      4                       4            2  2                        4                  2  2

hx         hx   hxhy             hx   hxhy  hy            hx     hxhy            hx         hxhy

-    4  +  4  Uij-1 + 2 Ui+1j-1 + 2 Ui-1j+1  -   4   +   4   Uij+1 +  2 Ui+1j+1 +  1 Uij-2 +

        2  2          4                   2   2                    2   2                          2  2            4                         2   2                        4

   hxhy    hy          hxhy          hxhy             hxhy     hy             hxhy             hy

+ 1 Uij+2  =  f ij      для   i=1 ... N-1, j=1 ... M-1

    4

           hy

и U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`), так как  в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице А отличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом  перепишем уравнение:

     (k+1)                                 (k+1)                       (k+1)                                                       (k+1)

 6   -    8   +   6   Uij      =       -  1 Uij-2     -   2   Ui-1j-1      +      4   +    4     Uij-1   -          

  4           2   2            4                                              4                         2  2                                    2   2              4              

hx      hxhy     hy                         hy                     hxhy                    hxhy       hy        

                                 (k+1)                           (k+1)                                                   (k+1)                                                                  (k)

-   2  Ui+1j-1   -    1  Ui-1j    +     4    +    4    Ui-1j            +          4    +   4    Ui+1j  -

    2   2                   4                    4                 2  2                                  4              2  2 

  hxhy                 hx                   hx        hxhy                          hx       hxhy

                  (k)                            (k)                                                         (k)                        (k)                             (k)

-   1  Ui+2j   -    2  Ui-1j+1    +     4     +   4    Uij+1   -   2 Ui+1j+1  -   1  Uij+2     +  fij

        4                            2   2                                2  2               4                             2   2                           4

   hx               hxhy                 hxhy       hy               hxhy               hy

                               (k)

При чем  U  удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`). Вычисления начинаются с i=1,  j=1 и продолжаются либо по строкам  либо по столбцам сетки  W. Число неизвестных в задаче n = (N-1)(M-1).

Как видно из вышеизложенных рассуждений  шаблон в этой задаче тринадцатиточечный  т.е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек (узлов сетки) Рассмотрим вид матрицы А - для данной задачи.

1 2 3 4