Метод конечных разностей или метод сеток

  0       0     .     .    .                0                                       0    a12  a13  .    .    . a1M

a21     0                                                                           0     0    a23  .    .    . a2M

a31   a32    0                                                                                  0                    .

L =    .                                                                           U=                                          .

.                                                                                                                          .

.                                                                                                                    aM-1M

aM1  aM2    .     .    .   aMM-1   0                                        0                                  0

И матрица D - диагональная.

  (k)     (k)                   (k)

Обозначим через Yk = ( Y1 ,Y2  ...  YM ) вектор k-ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :

( D + L )Yk+1 +  UYk = f ,                    k=0,1...

Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :

( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f ,              k=0,1...

Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aij для i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fi есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы aii.

ПОСТРОЕНИЕ  РАЗНОСТНЫХ  СХЕМ

Пусть Yi=Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i. Значения сеточной функции Y(i)  в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.

Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.

Так дифференциальное уравнение первого порядка :

 dU  = f(x)   ,      x > 0

 dx

можно заменить разностным уравнением первого порядка :

Yi+1 - Yi = f(xi) ,     xi = ih,  i=0,1...

h

или Yi+1=Yi+hf(x),  где h - шаг сетки v={xi=ih, i=0,1,2...}. Искомой функцией является сеточная функция Yi=Y(i).

При разностной аппроксимации уравнения второго поряда

  2

d U    = f(x)

   2

 dx

получим разностное уравнение второго порядка :

 2

Yi+1 - 2Yi + Yi+1 = yi ,    где  yi=h f i

 fi  = f(xi)

 xi  = ih

Для разностной aппроксимации  производных U’, U’’, U’’’ можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции Uij = U(i,j)  двух   дискретных  аргументов . Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона

Uxx + Uyy = f(x,y)

на сетке W выглядит следующим образом :

Ui-1j - 2Uij+Ui+1j  +  Uij-1 - 2Uij+Uij+1 = fij

2                                                     2

hx                             hy

где  hx - шаг сетки по X

  hy -  шаг сетки по Y

Сеточное уравнение общего вида можно записать так:

N

CijUj = fi               i=0,1...N

j=0

Оно содержит все значения U0, U1 ... UN сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица.

В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор i = (i1 ... ip) с целочисленными компонентами и тогда :

СijUj =fi      i Î W

jÎW

где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сij не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.

U=U(x,y)

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию Uij=U(xi,yj) ,

 где

xi=x0+ihx

yi=y0+jhy

hx = a/N ,

hy = b/M  и т.к.

x0=y0

то

xi=ihx,  yi=jhy,  i=0...N

                         j=0...M

Найдём разностные производные входящие в уравнение

2

DU = f

(т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения).

Uxij  =  Ui+1j - Uij    ,             Uxi-1j = Uij - Ui-1j

hx                                                                  hx

Uxxij  =   Ui-1j - 2Uij + Ui+1j

hx

Рассмотрим Uxxxxij как разность третьих производных  :  

              Uxxi-1j - Uxxij - Uxxij - Uxxi+1j

Uxxxxij =              hx                   hx          =    Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j + Ui+2j

4

                                        hx                                                                hx

Анологично вычислим производную по y :

Uyyyyij = Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 +Uij+2

  4

hy

Вычислим смешанную разностную производную Uxxyy :

                 Uxxij-1 - Uxxij   -   Uxxij - Uxxij+1

(Uxx)yyij =           hy                              hy              =  Uxxij-1 - 2Uxxij +Uxxij+1   =

2

                                             hy                                                       hy

=   Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1   -   2 Ui-1j - 2Uij + Ui+1j    +    Ui-1j-1 - 2Uij+1 + Ui+1j+1

2   2                                                               2   2                                                        2   2

hxhy                                    hxhy                                hxhy

В силу того что   DU = f

имеем:

Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j +Ui+2j  +

     4

 hx

+ 2 Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1  -  4 Ui-1j - 2Uij +Ui+1j   +  2 Ui-1j+1 -2Uij+1 + Ui+1j+1   +

2  2                                                       2   2                                                              2   2

hxhy                                                    hxhy                                                           hxhy

+  Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 + Uij+2     =   fij                                       (*)

4

hy

Это уравнение имеет место для

i=1,2, ... N-1

j=1,2, ... M-1

Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее :

x=0   ~    i = 0    

x=a   ~   xN=a

y=0   ~   Yo=0

y=b   ~   YM=b

1	2	3	4